堆排序是利用堆的性质进行的一种选择排序。下面先讨论一下堆。

堆实际上是一棵完全二叉树，其满足性质：任何一结点大于等于或者小于等于其左右子树结点。

堆分为大顶堆和小顶堆，满足 "任何一结点大于等于其左右子树结点" 的称为大顶堆，满足 "任何一结点小于等于其左右子树结点" 的称为小顶堆。由上述性质可知：大顶堆的堆顶肯定是最大的，小顶堆的堆顶是最小的。

下面举个例子（资源来自堆排序-海子）来说明堆排序的过程（以升序为例）：

（1）

给定整型数组：{ 16, 7, 3, 20, 17, 8 }，根据该数组 "构建" 完全二叉树（并不是真的写代码去构建，只是把数组看成完全二叉树去操作）。

程序从最后一个非叶子结点开始，即 3。判断其左右孩子：8，8 比 3 大，把 8 调整上去。

（2）

3 结点下无孩子，判断结束。

继续往前一步，至 7 结点，判断其左右孩子：20 和 17，20 是最大的，将其调整上去。

（3）

7 结点下无孩子，判断结束。

继续往前一步，至 16 结点，判断其左右孩子：20 和 8，20 是最大的，将其调整上去。

（4）

判断 16 结点下左右孩子：7 和 17，17 是最大的，将其调整上去。

（5）

16 结点下无孩子，判断结束。

遍历已至头部，结束。

（6）至此数组已经满足大顶堆的性质，接下来的操作就很简单了。

看完上面所述的流程你至少有两个疑问：

• 如何确定最后一个非叶子结点？

  其实这是有一个公式的，设二叉树结点总数为 n，则最后一个非叶子结点是第 $⌊\frac n2⌋$ 个。

• 数组当中如何确定当前结点的左右孩子位置？

  设当前结点下标是 i，则其左孩子的下标是 $2i$，右孩子的下标是 $2i+1$。请注意：这是建立在数组下标从 1 开始的情况。若数组下标从 0 开始，则其左右孩子下标还各需多加一个 1。

以下代码默认数组下标从 1 开始，请读者注意。

/* 已知 array[left]...array[right] 的值除 array[left] 之外均满足堆的定义，
本函数调整 array[left]，使 array[left]...array[right] 成一个大顶堆 */
void HeapAdjust(int array[], int left, int right)
{
    int index = left;
  
    for (int i = left * 2; i <= right; i = i * 2)
    {
        if (i < right && array[i] < array[i + 1])  // 找到孩子中较大者
            i++;
        if (array[index] >= array[i])
            return;
        swap(array[index], array[i]);
        index = i;
    }
}

void HeapSort(int array[], int left, int right)
{
    int len = right - left + 1;
  
    for (int i = len / 2; i >= left; i--)  // 把数组调整成大顶堆
        HeapAdjust(array, i, right);
  
    for (int i = right; i > left; i--)     // 排序
    {
        swap(array[left], array[i]);
        HeapAdjust(array, left, i - 1);
    }
}

时间复杂度为 $O(nlogn)$，证明如下。

首先计算建堆的时间，也就是下面的代码，

for (int i = len / 2; i >= left; i--)  // 把数组调整成大顶堆
    HeapAdjust(array, i, right);

n 个结点，从第 0 层至第 $log_2n$ 层。对于第 i 层的 $2^i$ 个点如果需要往下走 $log_2n-i$ 步，那么把走的所有步相加得，

$$ \begin{align} T(n)&=\sum_{i=0}^{i=log_2n}{2^i(log_2n-i)}\\ &=2n-log_2n-2\\ &<2n\\ &=O(n) \end{align} $$

接下来就是排序的时间，即下面的代码：

for (int i = right; i > left; i--)  // 排序
{
    swap(array[left], array[i]);
    HeapAdjust(array, left, i - 1);
}

HeapAdjust() 耗时 $logn$，共 n 次，故排序时间为 $O(nlogn)$。

综上所述，堆排序时间复杂度为 $T(n)=O(n)+O(nlogn)=O(nlogn)$。

其它

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(文章完)