在计算机科学中，二分搜索（binary search），也称折半搜索（half-interval search）、对数搜索（logarithmic search），是一种在有序数组中查找某一特定元素的搜索算法。

搜索过程从数组的中间元素开始，如果中间元素正好是要查找的元素，则搜索过程结束；如果某一特定元素大于或者小于中间元素，则在数组大于或小于中间元素的那一半中查找，而且跟开始一样从中间元素开始比较。如果在某一步骤数组为空，则代表找不到。这种搜索算法每一次比较都使搜索范围缩小一半。

问题 1

给定一个有序的数组，查找 value 是否在数组中，不存在返回 -1。

例如：{ 1, 2, 3, 4, 5 } 找 3，返回下标 2（下标从 0 开始计算）。

/* 注意：题目保证数组不为空，且 n 大于等于 1 ，以下问题默认相同 */
int BinarySearch(int array[], int n, int value)
{
    int left = 0;
    int right = n - 1;
    // 如果这里是 int right = n 的话，那么下面有两处地方需要修改，以保证一一对应：
    // 1、下面循环的条件则是 while(left < right)
    // 2、循环内当 array[middle] > value 的时候，right = middle

    while (left <= right)  // 循环条件，适时而变
    {
        int middle = left + ((right - left) >> 1);  // 防止溢出，移位也更高效。同时，每次循环都需要更新。
        if (array[middle] > value)
            right = middle - 1;
        else if (array[middle] < value)
            left = middle + 1;
        else
            return middle;
        // 可能会有读者认为刚开始时就要判断相等，但毕竟数组中不相等的情况更多
        // 如果每次循环都判断一下是否相等，将耗费时间
    }
  
    return -1;
}

问题 2

给定一个有序的数组，查找第一个等于 value 的下标，找不到返回 -1。

例如：{ 1, 2, 2, 2, 4 } 找 2，返回下标 1（下标从 0 开始计算）。

int BinarySearch(int array[], int n, int value)
{
    int left = 0;
    int right = n - 1;

    while (left <= right)
    {
        int middle = left + ((right - left) >> 1);

        if (array[middle] >= value)  // 因为是找到最小的等值下标，所以等号放在这里
            right = middle - 1;
        else
            left = middle + 1;
    }

    if (left < n && array[left] == value)
        return left;

    return -1;
}

如果问题改为 "查找 value 最后一个等于 value 的下标" 呢？只需改动两个位置：

1. if (array[middle] >= value) 中的等号去掉；

2. if (left < n && array[left] == value)
       return left;

   改为

   if (right >= 0 && array[right] == value)
       return right;

问题 3

给定一个有序的数组，查找第一个大于等于 value 的下标，都比 value 小则返回 -1。

也就是说如果有等于 value 的返回第一个等于 value 的下标，如果没有则返回第一个大于 value 的下标。

int BinarySearch(int array[], int n, int value)
{
    int left = 0;
    int right = n - 1;

    while (left <= right)  
    {
        int middle = left + ((right - left) >> 1);
      
        if (array[middle] >= value)
            right = middle - 1;
        else
            left = middle + 1;
    }
    
    return (left < n) ? left : -1;
}

如果问题改为"查找最后一个小于等于 value 的下标"呢？只需改动两个位置：

1. if (array[middle] >= value) 的等号去掉；
2. return (left < n) ? left : -1 改为 return (right >= 0) ? right : -1。

如何快速判断自己的二分程序是否正确

我们知道二分的思想就是每次取一半，想象一下，不管给我们的数组有多长，每次取一半，最终都会被压缩成长度为 1 的数组，然后在这个长度为 1 的数组里判断并返回，所以我们可以直接用长度为 1 的数组来测试程序。以上述的问题 3 为例。

1. 若找不到。例如数组为 { 0 }，value = 1，则 left = 1，right = 0，left 越界；
2. 若可以找到；
   2.1. 找到等于 value 的。例如数组为 { 0 }，value = 0，则 left = 0，right = -1，right 越界；
   2.2. 找到大于 value 的。例如数组为 { 0 }，value = -1，则left = 0，right = -1，right 越界；

对比程序最后的返回语句 return (left < n) ? left : -1，代码正确。

参考

• 维基百科. 二分搜索算法
• GitHub. 有序数组的查找
• 二分查找

其它

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(文章完)